じぶん更新日記

1997年5月6日開設
Copyright(C)長谷川芳典



11月のインデックスへ戻る
最新版へ戻る

　文学部中庭の11月11日と11月27日の比較写真。
  • 右側にあるアメリカフウはほぼ落葉
  • 真ん中にあるメタセコイアもだいぶ葉が落ちた
  • 日中でも、中庭花壇には日が当たらなくなった。
  • 後ろの半田山でも黄葉が進み、まもなく「イエローバンド」が出現する見込み。もっとも、昨年【右の写真参照】に比べるとかなり遅い。

2015年11月27日（金）

【思ったこと】
151127（金）刑事コロンボ「殺しの序曲」の偽金貨クイズとその拡張(1)

　BS-TBSで放送されている「刑事コロンボ」をときどき録画再生で視ているが【11月6日の日記に関連記事あり】、11月24日の「殺しの序曲」の中で、面白いクイズが出題されていた。

　IQ上位2％の天才たちだけが入会できるという「シグマクラブ」の代表オリバー（この回の犯人）がコロンボに出題したものであり、日本語吹き替えでは以下のようになっていた。
  • オリバー：ここに金貨の入った袋が数個あります。袋の数はいくら多くてもよろしい。それぞれの袋に複数の金貨が入っているがこの金貨の数もいくらでもよろしい。しかし１つの袋だけは全部偽造の金貨が入っておりこれは重量が違っている。純金の金貨が、例えばそう、1個100ｇだとすれば、偽造のはともかくそれとは違う。
  • コロンボ：110ｇじゃどうでしょう？
  • オリバー：ええいいですよ、さて、ここに秤が一個置いてある。
  • コロンボ：なるほど、その秤を何回か使って偽の金貨を見つけ出せって言うんでしょ。
  • オリバー：いや違う。その秤は一度しか使えない。つまり、一度だけで偽造の袋を見分ける方法は？
というものであった。番組でのコロンボの解答は【要約】、
じゃあ袋は３つとします。ちょうどここに３つありますから。ホンモノの金貨の重さは100ｇ、偽金貨の重みは110ｇとします。まず第一の袋から１個、第二の袋から２個、第三の袋から３個取り出してまとめて秤に乗せます。６個全部が本当の金貨なら600ｇになるはず。第一の袋が偽金貨なら610ｇ、第二なら620ｇ、第三なら630ｇ、袋の数がいくらあっても同じ。
となっていた。

　なお、上記の「秤」というのは台秤（もしくは、ばねばかり）のことである。天秤ばかりを使った偽金貨問題については、このWeb日記を書き始めて間もない頃【こちら参照】に考察したことがあった。



　さて、このクイズの解法はまことに明快であるのだが、どこまでが前提で、どこまでが例示なのか曖昧であるという不満が残った。私は当初、
ここに金貨の入った袋が数個あります。袋の数はいくら多くてもよろしい。それぞれの袋に複数の金貨が入っているがこの金貨の数もいくらでもよろしい。しかし１つの袋だけは全部偽造の金貨が入っておりこれは重量が違っている。一度だけで偽造の袋を見分ける方法は？
であって、ホンモノが100ｇ、ニセ金貨は110ｇというのはあくまで例示であると受け止めていた。しかし、上記の解答では、例示された数値がそっくり解法に利用されていたのである。

　では、ホンモノとニセ金貨の重さは分からない（但し、重さが違うことは分かっている）という前提ではどうすればいいのだろうか？　この場合、１回の計量でニセ金貨の袋を見つけることはまず不可能。では２回なら可能か。３回ならどうだろう？と考えてみた。

　当初、この問題は線形方程式系の解空間に関係しているのであろうと考えたが、加齢による数学的思考力の衰えに逆らうことはできず、うまいアイデアは浮かばなかった。

　しかし、少なくとも４回の計量が許されるのであれば、ニセ金貨の袋は確実に見つけ出せることは分かった。すなわち、ｎ個（ｎ≧３）の袋に１、２、３、．．．ｎというように番号をつけた上で、
  • 【計量１回目】袋１から１個だけ取り出し計量
  • 【計量２回目】袋２と袋３から１個ずつ取り出して計量
とする。この２回の計量では次の２つの可能性が考えられる。
  • 【ケース１】２回目が１回目の２倍の重さになった
    • →ニセ金貨は袋４以降にある（袋が３つだけの時はこのケースはあり得ない）
    • →ホンモノの金貨１枚の重さが分かる。
  • 【ケース２】２回目が１回目の２倍よりも軽い、もしくは重い
    • →ニセ金貨は袋１、袋２、袋３のうちの１つにある
　このうち【ケース２】であるならば、【計量３回目】では、袋２から１枚の金貨を取り出して重さを測れば、どの袋がニセ金貨であるのか判明する。
  • 袋１の金貨と袋２の金貨が同じ重さ→袋３がニセ金貨
  • 袋１の金貨と袋２の金貨の重さが異なり、かつ、袋２の金貨の重さは【計量２回目】の半分】→袋１がニセ金貨
  • 袋１の金貨と袋２の金貨の重さが異なり、かつ、【計量２回目】から【計量３回目】の重さを引くことで得られる袋３の金貨の重さが、【計量１回目】から判明した袋１の金貨と同じである場合→袋２がニセ金貨
というような場合分けによりニセ金貨の袋を見つけ出すことができる。

　いっぽう【ケース１】の場合は、
【計量３】袋４以降、袋ｎまでから１枚ずつ金貨を取り出してまとめて計量。これによって、ニセ金貨の重さが判明。いっぽう、【計量１】によりホンモノの金貨の重さも分かっているので、４回目の計量では刑事コロンボの解法が利用できる。

　ということでとりあえず４回の計量が許されれば、ニセ金貨の入った袋を必ず見つけ出すことができる。

　さて以上は自力で考えた解法であるが、その後ネットで検索したところ、『にせ金を探せ Part5』というサイトがあり、ここでは、３回の計量だけでニセ金貨の袋を見つけ出せる方法が紹介されていた。

　その方法のうち、【計量１回目】は上記と同じ。【計量２回目】では、残りの袋から１個ずつ取り出してまとめて計量。【計量３回目】は、同じく残りの袋から刑事コロンボの解法と同様に袋番号と同じ個数を取り出すというやり方である。

　このやり方は私も考えたが、ホンモノとニセ金貨のそれぞれの重さが分からないのにどうして【計量３回目】で刑事コロンボの解法が使えるのかが思い浮かばなかった。しかし、よく考えてみれば、【計量２回目】では、残りの袋（計量１回目以外の袋）から１個ずつ取り出してまとめて計量した時の重さは、
  • 計量１回目の袋がニセ金貨であった場合→残りの袋はすべてホンモノなので、ホンモノの金貨１枚の重さが分かり、かつ１回目の計量がニセ金貨の重さが分かる。
  • 計量１回目の袋がホンモノであった場合→計量２回目の重さは、１回目の重さ×残りの袋の数より、多少重いか軽くなる。この差がニセ金貨との差になるのでニセ金貨の重さが分かる。
となるので、場合分けそれぞれにおいて、ホンモノとニセ金貨の重さが確定できることが分かる。

　もう一度まとめると、残りの袋から１個ずつ取り出した時の総重量【計量２回目】と、残りの袋から袋番号（ｎ≧２）に対応した個数ずつ取り出した時の総重量【計量３回目】から金貨１枚あたりの重さの平均値をそれぞれ計算する。それが同じであれば、【計量１回目】で取り出した金貨の入っていた袋がニセ金貨となる。それが異なる場合、【計量１回目】で取り出した金貨はホンモノであることが確定するので、【計量２回目】の総重量とホンモノ金貨の枚数分の重さとの差からニセ金貨の重さも確定し、【計量３回目】の刑事コロンボ解法が適用できるという次第。

次回に続く。