じぶん更新日記
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【インドネシアその28】ブロモ山と日本の活火山の火口/虚数だけの世界は存在するか?(1)加法単位元と乗法単位元、0を虚数であるとすると?
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【インドネシアその28】ブロモ山と日本の活火山の火口

 昨日の日記に掲載した写真のように、ブロモ山はたくさんのアジア系観光客で賑わっていた。別段ヒンズー教徒でもないのになぜこんなに人気があるのかと疑問が生じたが、おそらく、活火山が殆ど無い国・地域の人たちにとって、気軽に訪れることのできる絶景ポイントになっているためではないかと推測された。

 その点、日本には富士山を初めとする活火山が山ほどあり【←オヤジギャグ】、わざわざ海外に出かけなくてもブロモ山と同程度の火口を眺めることができる。よほどの物好きでないと【←私はその物好きの1人だが】、わざわざ海外まで出向く必要は無さそう。写真上はブロモ山の火口とヒンズー教の祭壇。その下のA〜Dは日本国内の活火山4座。
  • A;新燃岳
    学生時代に2回ほど登った。現在は噴火警戒レベル3。入山規制。
  • B:浅間山
    学生時代に2回登った。当時はお鉢巡りができたが、現在は噴火警戒レベル2、火口周辺規制。最近ではYouTubeでドローン撮影による火口内の動画を拝見できるようになった。
  • C:阿蘇山
    学生時代と結婚後の家族連れで5回以上登っている。現在は噴火警戒レベル2、火口周辺規制。写真は湯だまりの無い火口。その後の研究により「1火口は非活動期には「湯だまり」と呼ばれる火口湖が形成され、活動期には湯だまりが消失して黒色砂状の火山灰(地方名ヨナ)を放出するとともに、 赤熱噴石・スコリアの放出を伴うストロンボリ式噴火も発生し、時には、激しい水蒸気噴火やマグマ水蒸気噴火を起こすこともある。」【気象庁の資料】という「湯だまりと火山活動」の関連性が認められるようになり、一般観光客が見物できる火口はたいがい湯だまりで満たされている時に限られるようになった【←但し正確な情報ではない】。
  • D:桜島
    大阪からバンコクに向かう途中で眺めることができた。もちろん登山できる山ではないが、最近ではYouTubeでドローン撮影による火口内の動画を拝見できるようになった。



2025年07月25日(金)



【小さな話題】虚数だけの世界は存在するか?(1)加法単位元と乗法単位元、0を虚数であるとすると?

 少し前から、、

実数世界は虚数の世界を想定しなくても存在する一方、虚数世界は実数世界無しでは存在し得ない(もしくは、虚数だけの閉じた世界を作れない)

という理由について考えている。
 そもそものきっかけは、

リアルな日常生活を実数世界、バーチャルな世界(RPGなどのゲーム、SNSによる交流など)を虚数世界に喩えた時、リアルな世界から完全に独立したバーチャルな世界を創り上げることができるか?

ということにあった。なおここでいう「存在する」というのは実在するかどうかという意味ではなくて、あくまで矛盾無く創り上げることができるかという意味で使用される。また、究極の「リアルな世界から完全に独立したバーチャルな世界」は天国や極楽浄土、もしくは地獄のような世界のことを言う。いずれにせよ、あくまで喩え話の範疇であって、隠居人の道楽以上の何ものでもないことを予めお断りしておく。

 元の話題に戻るが、実数だけの世界では実数a、bの和も積も実数となり単位元も逆元も存在する。しかし虚数だけの世界では、虚数ai、biの積は虚数にはならず「虚数の単位元」も存在しない。このことから見て、実数世界は虚数の世界を想定しなくても存在する一方、虚数世界は実数世界無しでは存在し得ない、ということが言えそうだ。このあたりの考えをChatGPTに確認してもらったが、
実数の世界は虚数を前提にせずに自律的に閉じた代数体系を持ちますが、虚数(より正確には「虚数部分」)だけでは加法・乗法の演算に閉じた体や環を構成できず、そのままでは独立した代数体系とはなりません。
とのこと。さらに以下のような詳細な回答をいただいた【一部省略。テキスト表記としたため一部制御文字がそのままになっている】。

非常に鋭く本質的なご質問です。

## ?? 詳しく解説
  1. 実数だけの世界
    * 実数は\*\*体(field)\*\*です:
    • * 加法・乗法に関して閉じており、
    • * 単位元 \$0, 1\$ が存在し、
    • * 加法・乗法に対する逆元(\$-a, 1/a\$)も存在します(\$a \ne 0\$)。
    • * 完備性(連続性)という強い性質も持ち、順序も定義できます。

    **実数だけで完結した代数体系が構成可能**です。
  2. 虚数だけの世界(\$bi\$ 型の数、\$b \in \mathbb{R}\$)
    この世界を \$\mathbb{V} := { bi \mid b \in \mathbb{R} }\$ とすると:
    * 加法:\$ai + bi = (a + b)i\$ ⇒ OK(\$\mathbb{V}\$ に閉じている)
    * しかし、乗法:

    $$
    (ai)(bi) = ab(i^2) = ab(-1) = -ab \in \mathbb{R}
    $$


    ⇒ **虚数どうしの積は実数になってしまう!**

    **乗法に閉じていない ⇒ 体・環ではない**
    * 乗法単位元(\$1\$)も虚数の中には存在しません。
    * 乗法逆元も定義できない(\$bi\$ の逆数は \$\frac{1}{bi} = \frac{-i}{b}\$ で虚数にならない)。

  3. 構造の観点:虚数は部分集合に過ぎない
    • * 複素数全体 \$\mathbb{C}\$ は体です。
    • * 実数 \$\mathbb{R}\$ はその部分体。
    • * 虚数 \$\mathbb{V}\$ は \$\mathbb{C}\$ の部分集合ですが、**加法群としては閉じていても、環や体にはなりません**。


## ?? 哲学的含意:
  • **実数は「一次的存在」**:構造的に閉じ、独立に構築できる。
  • **虚数は「構造的に従属的」**:複素数(実数+虚数)という大きな構造の**補助的な側面・方向性**にすぎない。


### ?? 例えで言えば…
  • * 実数は「平面上のx軸」:それだけで一直線上に世界が完結。
  • * 虚数は「y軸だけ取り出したもの」:座標平面の一部にすぎず、乗法構造を持ち出すと実軸との関係が不可欠になる。


## ?? 結論ふたたび

 虚数(\$bi\$ 型)だけでは、加法には閉じていても乗法に閉じず、単位元・逆元も定義できないため、独立した代数体系を成せません。
 よって、虚数は実数を含むより大きな体系(複素数)に従属する存在であり、**虚数世界は実数世界無しでは成立し得ない**という理解は、**数学的に正しい**と言えます。


 以上の解説にも記されていたように、「実数は一次的存在、虚数は構造的に従属的」というのが正しい理解である。喩え話に戻るならば、リアルな日常生活は一次的、バーチャルな世界はリアルな世界に従属的にならざるを得ないようである。つまり『バーチャル』はどんなに頑張っても『リアル』のパラレルワールドにはなり得ないということになる。

 ではなぜ虚数だけの世界は実数世界に対して従属的なのか? これはおそらく単位元に関係していると思われる。単位元は、左単位元、右単位元、(両側)単位元があるが、ここでは『両側単位元について考えることにする。
 ここで実数より先に虚数の世界が存在していたと考える。
そうすると、
  • 加法単位元:ai+p=aiとなるようなp
  • 乗法単位元:ai×p=aiとなるようなq
という形でpとqが定義される。学校で習う四則演算をそっくり当てはめればp=0、q=1というようにpもqも実数になってしまうが、これはあくまで実数の0や1が先に定義されているからこその話であって、虚数から先に定義するならばpやqは虚数の仲間、もしくは虚数とすると何か不都合が起きるか【その場合、pまたはqは存在しない】と考えるべきであろう。
 上記のChatGPTの説明に「虚数は「y軸だけ取り出したもの」:座標平面の一部にすぎず、乗法構造を持ち出すと実軸との関係が不可欠になる。とあったが、虚数世界を先に定義すると、y軸のゼロは虚数に含まれることになる。ChatGPTによれば、この場合、以下のような不都合が生じる。

「0は実数ではなく虚数である」と定義したときに何が起こるかを考えるには、まず**実数・虚数の定義や構造**を再確認し、それを変えたときに何が崩れるのかを分析する必要があります。

## ? 結論(要約)
**「0は虚数である」と定義すると、複素数体系の自然な構造(加法、乗法、直交性、分解性など)が崩れ、混乱と不整合が生じます。**
特に、虚数を「虚部が非ゼロの複素数」とする通常の定義が成り立たなくなり、複素数の「実部+虚部」という分解が不可能になります。

## ?? 通常の定義
複素数 \$z\$ は以下の形で表されます:

$$
z = a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R})
$$
* **実数**:\$b = 0\$(実部のみ)
* **虚数**:\$a = 0\$(虚部のみ)、つまり \$bi\$ という形

通常は、**\$0 = 0 + 0i\$** と見なされ、「実数でも虚数でもある」と言って差し支えない(両者の共通部分)とされます。

## ?? 仮に「0は虚数」と定義するとどうなるか?
  1. **実数と虚数の交わりが生じてしまう**
    * 通常、実数と虚数は「直交(直線的に独立)」した概念。
    * そこに \$0\$ を虚数だけに含めると:
    * **\$0 \notin \mathbb{R}\$**(実数から0が除かれる)⇒ 実数が体にならない
    * **虚数の定義が不自然に拡大される** ⇒ \$bi\$ でない \$0\$ も虚数に入ってしまう
  2. **加法構造が崩れる**
    * 例えば \$a \in \mathbb{R}\$、\$bi \in \mathbb{V}\$ としたとき、\$a + 0 = a\$。
    * もし \$0\$ が虚数であれば、\$a + 0 \in \mathbb{R} + \mathbb{V}\$ の型になる。
    * ⇒ **「実数同士の和が実数にならない」ような解釈に陥る**
  3. ### 3. **実部・虚部の分離ができなくなる**
    * 通常、複素数 \$z\$ は以下のように分解されます:

    $$
    \text{Re}(z) = a,\quad \text{Im}(z) = b
    $$

    * ここで、\$0\$ がどちらでもなくなる(あるいは両方に属さない)と、**実部と虚部の定義が不整合になる**。

  4. **線形代数的な問題**
    * \$\mathbb{C}\$ は \$\mathbb{R}\$ 上の2次元ベクトル空間。
    * \$1\$ と \$i\$ が基底。
    * その中で \$0\$ は「ベクトル空間の零元」であり、どちらにも属す必要がある。

    * ⇒ 「0は虚数のみ」とした瞬間に、**直交分解・射影・直和分解**が成り立たなくなる。


## ?? 比喩的に言えば…
  • * 実数と虚数は「東西に伸びる線路と南北に伸びる線路」のようなもの。
  • * 交差点が「0」。
  • * 交差点を「東西線ではなく南北線だ」と決め打ちしてしまうと、**両方の路線図がゆがむ**ことになる。


## ? まとめ
  • | 観点 | 問題点 |
  • | 代数的性質 | 実数が体でなくなる、加法単位元の混乱 |
  • | 幾何学的構造 | 実軸・虚軸の直交性が崩れる |
  • | ベクトル空間 | 0ベクトルが中立的でなくなる |
  • | 概念的分解 | 実部・虚部の定義が不明瞭になる |


## ?? 結論(再掲)
\*\*0は「実数でもあり虚数でもある」\*\*という扱いが最も自然です。
あえて0を「虚数だけ」に含めると、数学体系に多くの不整合や不自然な結果を引き起こします。

もしあなたが「哲学的に0を虚数と見なしたい」といった文脈で考えているなら、数学とは異なる形式体系での再定義が必要になります。その場合は、ご希望があれば論理構造や形式体系の構築方法もご紹介できます。



 不規則ながら次回に続く。



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