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【インドネシアその28】ブロモ山と日本の活火山の火口 昨日の日記に掲載した写真のように、ブロモ山はたくさんのアジア系観光客で賑わっていた。別段ヒンズー教徒でもないのになぜこんなに人気があるのかと疑問が生じたが、おそらく、活火山が殆ど無い国・地域の人たちにとって、気軽に訪れることのできる絶景ポイントになっているためではないかと推測された。 その点、日本には富士山を初めとする活火山が山ほどあり【←オヤジギャグ】、わざわざ海外に出かけなくてもブロモ山と同程度の火口を眺めることができる。よほどの物好きでないと【←私はその物好きの1人だが】、わざわざ海外まで出向く必要は無さそう。写真上はブロモ山の火口とヒンズー教の祭壇。その下のＡ〜Ｄは日本国内の活火山4座。
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【小さな話題】虚数だけの世界は存在するか？(1)加法単位元と乗法単位元、0を虚数であるとすると？ 少し前から、、 ●実数世界は虚数の世界を想定しなくても存在する一方、虚数世界は実数世界無しでは存在し得ない（もしくは、虚数だけの閉じた世界を作れない） という理由について考えている。 そもそものきっかけは、 ●リアルな日常生活を実数世界、バーチャルな世界（RPGなどのゲーム、SNSによる交流など）を虚数世界に喩えた時、リアルな世界から完全に独立したバーチャルな世界を創り上げることができるか？ ということにあった。なおここでいう「存在する｣というのは実在するかどうかという意味ではなくて、あくまで矛盾無く創り上げることができるかという意味で使用される。また、究極の「リアルな世界から完全に独立したバーチャルな世界」は天国や極楽浄土、もしくは地獄のような世界のことを言う。いずれにせよ、あくまで喩え話の範疇であって、隠居人の道楽以上の何ものでもないことを予めお断りしておく。 元の話題に戻るが、実数だけの世界では実数a、bの和も積も実数となり単位元も逆元も存在する。しかし虚数だけの世界では、虚数ai、biの積は虚数にはならず「虚数の単位元」も存在しない。このことから見て、実数世界は虚数の世界を想定しなくても存在する一方、虚数世界は実数世界無しでは存在し得ない、ということが言えそうだ。このあたりの考えをChatGPTに確認してもらったが、 実数の世界は虚数を前提にせずに自律的に閉じた代数体系を持ちますが、虚数（より正確には「虚数部分」）だけでは加法・乗法の演算に閉じた体や環を構成できず、そのままでは独立した代数体系とはなりません。とのこと。さらに以下のような詳細な回答をいただいた【一部省略。テキスト表記としたため一部制御文字がそのままになっている】。 非常に鋭く本質的なご質問です。 ## ?? 詳しく解説
## ?? 哲学的含意：
### ?? 例えで言えば…
## ?? 結論ふたたび 虚数（\$bi\$ 型）だけでは、加法には閉じていても乗法に閉じず、単位元・逆元も定義できないため、独立した代数体系を成せません。 よって、虚数は実数を含むより大きな体系（複素数）に従属する存在であり、**虚数世界は実数世界無しでは成立し得ない**という理解は、**数学的に正しい**と言えます。 以上の解説にも記されていたように、「実数は一次的存在、虚数は構造的に従属的」というのが正しい理解である。喩え話に戻るならば、リアルな日常生活は一次的、バーチャルな世界はリアルな世界に従属的にならざるを得ないようである。つまり『バーチャル』はどんなに頑張っても『リアル』のパラレルワールドにはなり得ないということになる。 ではなぜ虚数だけの世界は実数世界に対して従属的なのか？ これはおそらく単位元に関係していると思われる。単位元は、左単位元、右単位元、（両側）単位元があるが、ここでは『両側単位元について考えることにする。 ここで実数より先に虚数の世界が存在していたと考える。 そうすると、
上記のChatGPTの説明に「虚数は「y軸だけ取り出したもの」：座標平面の一部にすぎず、乗法構造を持ち出すと実軸との関係が不可欠になる。とあったが、虚数世界を先に定義すると、ｙ軸のゼロは虚数に含まれることになる。ChatGPTによれば、この場合、以下のような不都合が生じる。 「0は実数ではなく虚数である」と定義したときに何が起こるかを考えるには、まず**実数・虚数の定義や構造**を再確認し、それを変えたときに何が崩れるのかを分析する必要があります。 ## ? 結論（要約） **「0は虚数である」と定義すると、複素数体系の自然な構造（加法、乗法、直交性、分解性など）が崩れ、混乱と不整合が生じます。** 特に、虚数を「虚部が非ゼロの複素数」とする通常の定義が成り立たなくなり、複素数の「実部＋虚部」という分解が不可能になります。 ## ?? 通常の定義 複素数 \$z\$ は以下の形で表されます： $$ z = a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R}) $$ * **実数**：\$b = 0\$（実部のみ） * **虚数**：\$a = 0\$（虚部のみ）、つまり \$bi\$ という形 通常は、**\$0 = 0 + 0i\$** と見なされ、「実数でも虚数でもある」と言って差し支えない（両者の共通部分）とされます。 ## ?? 仮に「0は虚数」と定義するとどうなるか？
## ?? 比喩的に言えば…
## ? まとめ
## ?? 結論（再掲） \*\*0は「実数でもあり虚数でもある」\*\*という扱いが最も自然です。 あえて0を「虚数だけ」に含めると、数学体系に多くの不整合や不自然な結果を引き起こします。 もしあなたが「哲学的に0を虚数と見なしたい」といった文脈で考えているなら、数学とは異なる形式体系での再定義が必要になります。その場合は、ご希望があれば論理構造や形式体系の構築方法もご紹介できます。 不規則ながら次回に続く。 |