• i²＝−1、j²＝−1、k²＝−1
• ij＝k、jk＝i、kj＝j

　四元数の成す代数系は、1843年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された。これにはオイラーの四平方恒等式（1748年）やオリンデ・ロドリゲス（英語版）の四つの径数を用いた一般の回転のパラメータ付け（英語版）（1840年）などを含む重要な先駆的研究があったが、何れもその四径数回転を代数として扱ったものではなかった。ガウスもまた1819年に四元数を発見していたのだが、そのことが公表されるのは1900年になってからのことである。
　ハミルトンは複素数が座標平面における点として解釈できることを知っていて、三次元空間の点に対して同じことができる方法を探していた。空間の点はそれらの座標としての数の三つ組によって表すことができ、ハミルトンはそれらの三つ組に対して加法や減法をどのようにすべきかはずっと前から分かっていたのだが、乗法と除法をどう定めるかという問題については長く行き詰ったままであった。ハミルトンは、空間における二点の座標の商をどのように計算すべきかを形にすることができなかったのである。
　四元数についての大きな転換点がついに訪れたのは、1843年10月16日の月曜日、ダブリンにおいてハミルトンが理事会の長を務めることになるアイルランド王立アカデミー（英語版）への道すがら、妻とともにロイヤル運河（英語版）の引き船道に沿って歩いているときであった。四元数の背景となる概念が頭の中で形になり、答えが明らかになったとき、ハミルトンは衝動を抑えられずに、四元数の基本公式

i²＝j²＝k²＝ijk＝−1

を、渡っていたブルーム橋（英語版）の石に刻みつけた。 【以下略】

1. まず、上記の三元数では何らかの形でiとjの積を定義する必要がある。閉じているということを前提にすれば、その積はなんであれ、必ず、
   ij＝a＋bi＋cj　【但し、a、b、cは実数】
   という形で表されなければならない。
2. 次に両辺にiを掛ける。【iはゼロではないのでこれは可能】
   i²j＝ai＋bi²＋cij
3. ↑の式で、i²＝−1。cijの部分のijは元のij＝a＋bi＋cjとして表されるということを前提としているので、以下のように変形できる。
   −j＝ai−b＋c（a＋bi＋cj）
   0＝−b＋ac＋（a＋bc）i＋（c²＋1）j
4. そうすると、左辺がゼロになっていることから、右辺の実数部、iの虚数部、jの虚数部はすべてゼロにならなければならないことが分かる。
   しかし、jの虚数部の係数の「c²＋1」がゼロになるためには、「c²＝−1」でなければならなくなる。これはcが実数であるという当初の前提に反する。