ペアノの公理に基づいて乗法を定義する場合、自然数nとmの積n×mは、以下のように再帰的に定義されます:

1. 　n×0=0
2. 　n×suc(m)=n×m＋n

このように定義された乗法は、ペアノの公理に基づいて自然数の乗法を定義することができます。

• m枚のお皿を考える。それぞれのお皿にはそれぞれn個の飴が載っている。【お皿はいくらでも多くの飴を載せることができるものとする】
• お皿が0枚の時は、飴も0個。
• すでにm枚のお皿があったとする。お皿を1枚追加した時の飴の個数は、すでにあったn×m個の飴にn個の飴を追加した数に等しい。

1. 　n★0=0
2. 　n★suc(m)=n★m◆n

1. 　n◆0=n
2. 　n◆suc(m)=suc(n◆m)

• 「1｣はsuc(0)＝1として定義する。
• 乗法の定義において、n＝suc(0)、m=0とすると、
  suc(0)★suc(0)=suc(0)★0◆suc(0)
• suc(0)★0は乗法の定義1.によりゼロになるので
  suc(0)★suc(0)=0◆suc(0)
• 0◆suc(0)は加法の定義1.によりsuc(0)になるので、けっきょく、
  suc(0)★suc(0)=suc(0)
• suc(0)は1として定義されているので置き換えると、
  1★1＝1が証明された。

「1×1＝1」を証明するには、ペアノの公理と乗法の定義を用いて、以下のように証明することができます :

1. 1×0=0 (乗法の定義より)
2. 1×S(0)=1×0+1 (乗法の定義より)
3. 1×1=1×S(0) (S(0)は1であるため)
4. 1×1=1×0+1 (2.と3.より)
5. 1×1=1 (1.と4.より)

よって、「1×1＝1」が証明されました。

この証明では、乗法の定義に基づいて、1×0=0、1×S(0)=1×0+1、S(0)は1であるため、1×1=1×S(0)、1×1=1×0+1、1×1=1が導かれます。

「2×2＝4」を証明するには、ペアノの公理と乗法の定義を用いて、以下のように証明することができます :

1. 　 2×0=0 (乗法の定義より)
2. 　2×S(0)=2×0+2 (乗法の定義より)
3. 　2×1=2×S(0) (S(0)は1であるため)
4. 　2×1=2×0+2 (2.と3.より)
5. 　 2×1=2 (1.と4.より)
6. 　 2×S(1)=2×1＋2 (乗法の定義より)
7. 　 2×S(1)=4 (5.と6.より)

よって、「2×2＝4」が証明されました。

この証明では、乗法の定義に基づいて、2×0=0、2×S(0)=2×0+2、S(0)は1であるため、2×1=2×S(0)、2×1=2×0+2、2×1=2が導かれます。そして、乗法の定義に基づいて、2×S(1)=2×1+2、2×S(1)=4が導かれます。

• 2＝suc(1)＝suc(suc(0))
• 4＝suc(3)＝suc(suc(2))＝suc(suc(suc(1)))＝suc(suc(suc(suc(0))))