この話題は、もともと「素数は無限個ある」ことの証明に由来するようだ。その証明とは、

素数の個数が有限と仮定し、p₁, … p_n が素数の全てとする。その積 P = p₁ × ･･･ × p_n に 1 を加えた数 P + 1 は、p₁, …, p_n のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは p₁, …, p_n が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無限に存在する。

上掲の背理法による証明に対して、「P = p₁ × ･･･ × p_n ＋ 1 は必ず素数となる」という誤解がある。しかし、

2・3・5・7・11・13+1＝3031＝59・509

あるいはもっと単純な、

2・7＋1＝15

という例があり、これは正しくない。また、それをもって上掲の背理法による証明が間違っていることにはならない。背理法で導きだされた矛盾はあくまで「素数の個数は有限個」という仮定である。

　このウッカリは、
（ｅ^2iπ+1）^2iπ+1＝ｅ
から、
ｅ^{（2iπ+1）（2iπ+1）}＝ｅ
を導くところにあった。
これは、
（ａ^b）^c＝ａ^bc
が複素数でも成り立つと誤解しているためであった。

三角関数の微分は高3の頃に習ったと記憶しているが、受験対策優先のため、なぜそうなるのかはすっかり忘れてしまってた。ネットで検索したところこちらに代表的な証明法が紹介されていたが、何をもって定義するか、どういう公式を使うかによってかなり微妙なところがある。ネットで検索したところ、上掲のリンクのほか、

• 「高校数学における三角函数の微積分は循環論法になっている」というデマについて
• lim(x→0)sinx/x=1の証明は循環論法か？？
• 【円の面積公式】円の面積公式S=πr²の循環論法の解消について

など、興味深い話題がいろいろあるようだ。Yahoo!知恵袋にも「三角関数の定義には角度の定義が必要←角度の定義には扇形の弧長が必要←弧長の定義には積分が必要」というように三角関数の定義自体が厳密でないという返答があり、そう言われてみれば、けっこう直感にとらわれていた気もする。