【思ったこと】
151208（火）刑事コロンボ「殺しの序曲」の偽金貨クイズとその拡張(5)
前回の日記では、袋が全部で５つ、金貨Ｂの袋がそのうちいくつあるか分からないという具体例について検討した。その結果、【計量１】の４倍の重さと【計量２】の結果の差をを比較した時に【計量２】のほうが12グラムだけ重かったとすると、【計量３】において金貨Bが含まれていることによる「増量分」は、あらゆる可能性にたいして異なる値を示すため、【計量３】の結果から、金貨Ｂの入っている袋がいくつであるか、どの袋に入っているのかを同定することが可能であることが分かった。
しかし、袋が５つ、【計量１】と【計量２】の差が12グラムであったという例示において成り立っているにすぎないかもしれない。そこで次のように一般化を試みる。まず、【計量１】と【計量２】の差をsグラムであるとすると、昨日の計算は以下のように書き換えることができる。
- 袋１から袋４のうち、１つの袋に金貨Ｂが含まれていた場合
- この場合は、【計量１】の４倍と【計量２】の差sグラムは、金貨Ａと金貨Ｂの１枚分の差となる。
- 金貨Bが袋１、袋２、袋３、袋４に入っていた時の【計量３】の増量分は、順に、s、2s、4s、8sグラムとなる。
- 袋１から袋４のうち、２つの袋に金貨Ｂが含まれていた場合
- この場合、金貨Ａと金貨Ｂの１枚分の差はs/2グラムとなる。金貨Ｂが入っている袋の場合分けは
- 袋１と袋２（計3枚）：3s/2グラム
- 袋１と袋３（計5枚）：5s/2グラム
- 袋１と袋４（計9枚）：9s/2グラム
- 袋２と袋３（計6枚）：6s/2=3sグラム
- 袋２と袋４（計10枚）：10s/2=5sグラム
- 袋３と袋４（計12枚）：12S/2=6sグラム
- 袋１から袋４のうち、３つの袋に金貨Ｂが含まれていた場合
- この場合、金貨Ａと金貨Ｂの１枚分の差はs/3グラムとなる。金貨Ｂが入っている袋の場合分けは、
- 袋１、袋２、袋３（計7枚）：7s/3グラム
- 袋１、袋２、袋４（計11枚）：11s/3グラム
- 袋１、袋３、袋４（計13枚）：13s/3グラム
- 袋２、袋３、袋４（計14枚）：14s/3グラム
- 袋１から袋４のうち、４つの袋に金貨Ｂが含まれていた場合
- この場合、金貨Ａと金貨Ｂの１枚分の差はs/4グラムとなる。
- 金貨Ｂは袋１〜袋４のすべてに入っており、増量分はs/4×15枚＝15s/4グラム
ということで、【計量３】の増量分は、
- 金貨Ｂが１つの袋に入っていた時：s、2s、4s、8s
- 金貨Ｂが２つの袋に入っていた時：3s/2、5s/2、6s/2、9s/2、10s/2、12s/2
- 金貨Ｂが３つの袋に入っていた時：7s/3、11s/3
- 金貨Ｂが４つの袋に入っていた時：15s/4
となる。上記では分数が入っていてややこしいのでs=12tとおくと、
- 金貨Ｂが１つの袋に入っていた時：12t、24t、48t、96t
- 金貨Ｂが２つの袋に入っていた時：18t、30t、36t、54t、60t、72t
- 金貨Ｂが３つの袋に入っていた時：28t、44t
- 金貨Ｂが４つの袋に入っていた時：45t
となって、やはり異なる値をとる。よって、当初の例示で「【計量１】と【計量２】の差を12グラムとしていたが、何グラムであっても金貨Ｂの袋を見つけ出せることが分かった。
では、袋がどんなに多くても、どの袋に入っているかというすべての組合せに対して、【計量３】の増量分は異なる値をとりうるのだろうか。
まず、もういちど袋の数が袋０〜袋４までの5個であった場合について、【計量３】で金貨Ｂが含まれている個数を二進法で表してみる。但し、表記を簡略化して、（1010）2の場合は(1010)というように、下付の2は省略する。
- 袋１から袋４のうち、１つの袋に金貨Ｂが含まれていた場合その個数は
(0001)、(0100)、(0001)というように、どこかに一箇所「1」が現れる個数分となる。よって金貨Ｂが含まれていたことによる増量分は、
s×(0001)、s×(0010)、s×(0100)、s×(1000)
と表すことができる。上記の二進数列には1は必ず1個含まれている。
- 次に、袋１から袋４のうち、２つの袋に金貨Ｂが含まれていた場合の個数は
(0011)、(0110)、(1001)というように、どこかに２箇所「1」が現れる個数分となる。よって金貨Ｂが含まれてたことによる増量分は、いっぽう金貨Ａと金貨Ｂの１枚分の差はs/2となる。また二進法で2で割るというのは小数点を左に1つ移動する計算となるので、
- 袋１と袋２：s/2×(0011枚)=s×(001.1)
- 袋１と袋３：s/2×(0101枚)=s×(010.1)
- 袋１と袋４：s/2×(1001枚)=s×(100.1)
- 袋２と袋３：s/2×(0110枚)=s×(011.0)
- 袋２と袋４：s/2×(1010枚)=s×(101.0)
- 袋３と袋４：s/2×(1100枚)=s×(110.0)
となる。上記の二進数列には「1」が必ず2個現れている点に留意。
- さて、袋１から袋４のうち、３つの袋に金貨Ｂが含まれていた場合であるが、この場合の個数は、(0111)、(1110)、(1011)というように、どこかに３箇所「1」が現れる個数分となる。いっぽう金貨Ｂが含まれていたことによる増量分は、いっぽう金貨Ａと金貨Ｂの１枚分の差はs/3となる。
また二進法で3で割るというのは小数点を左に1つ移動する計算となるので、
- 袋１、袋２、袋３：s/3×(0111枚)=s×(0111)÷(11)=s×(10.0101...)
- 袋１、袋２、袋４：s/3×(1011枚)=s×(1011)÷(11)=s×(11.1010...)
- 袋１、袋３、袋４：s/3×(1101枚)=s×(1101)÷(11)=s×(100.0101...)
- 袋２、袋３、袋４；s/3×(1110枚)=s×(1110)÷(11)=s×(100.1010...)
となる。
- 最後に、袋１から袋４のうち、４つの袋に金貨Ｂが含まれていた場合は、金貨Ｂの枚数は(1111)枚、また金貨Ａと金貨Ｂの１枚分の差はs/4となるので、
s/4×(1111)=s×(11.11)
となる。二進数で表記した増量分の重さは、sに掛け合わせる時の二進数の「1」と「0」のパターンの違いに現れていることが分かる。
以上までを自力で考えたが、どうやら、【計量３】あるいはそれに変わる計測法というのは、金貨Ｂがどの袋に入っているのかというあらゆる組合せに対応した多項式、あるいはデジタル信号を作ることであろうということに気づいた。
次回に続く（たぶん）。
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