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3月1日からプラスチック資源ゴミの回収が始まったが、最近では、毎週金曜日の回収に対応した分別行動がすっかり日常生活習慣として定着した。 3月以降に大きく変化したのは、毎週月曜日と木曜日に出していた可燃ゴミの排出量である。それまでは毎回10リットルまたは20リットルの有料ゴミ袋を使用していたものが、3月以降は毎回5リットルで済むようになった。これまでの可燃ゴミの半分以上はプラスチックゴミであり、それらを分離したことで可燃ゴミの大半は生ゴミのみとなった。いっぽう、金曜日に出すプラスチック資源ゴミのほうは、プラごみに加えてこれまで別ルートで収集されていた発泡トレイが含まれるようになったので、毎週の排出量は70リットルに達するようになった【写真参照】。我々の生活が以下にプラスチックに依存しているかがよく分かる。 |
【連載】隠居人が楽しめる素数の話題(1)「素数生成多項式」「らせん配置」 素数については、このWeb日記で何度か取り上げたことがあるが【最近では2022年7月7日】、10日ほど前に配信された、 ●かーるのゆっくり数学 近年解明された素数の法則 6選【総集編】 で、最近の興味深い話題が総集編として紹介されていたこともあり、これを機会に、隠居人生活者として楽しめることができそうなトピックについてまとめておきたいと思う。なおタイトルに記したように、ここで取り上げるのはあくまで道楽としての数学であって、専門的な数学の研究に関わる話題ではない。なので、見た目の美しさやシンプルさ、素朴な視点から捉えた時の意外性などに焦点があてられることになる。 ところで、素数の神秘性についてはイマイチ分からないところがある。素数というのは、エラトステネスのふるいで、2の倍数、3の倍数、．．．というように小さい数から順番に合成数をふるい落とした時に残った結果であり、その残った数もまた次のふるい落としに使われる。要するに、素数は、規則的に並んだ倍数の隙間から取り残されたコブのようなものであって、それ以上でもそれ以下でもない。原子のように離散的なエネルギーレベルをとる物理対象であれば、同じように何らかのコブのような特異な分布が生じてもそれほど驚くにはあたらないようにも思える。 さて、上掲の総集編動画で最初に取り上げられたのは、ポーランドの数学者、スタニスワフ・マルチン・ウラムが考案した「素数をらせん状に並べる」【正確には「自然数をらせん状に並べて最後に素数だけ色を塗る」】というアイデアであった。合成数を白、素数を黒とすると、らせん状に並べた図には斜めの直線模様が見えてくる。 これに関連して、レオンハルト・オイラーの『素数生成多項式』が紹介された。その基本形は、 Ｘ2−Ｘ＋41 であった。この式のＸに1〜40までの数を入れるとすべて素数になる。Ｘに41以上の数を入れると合成数になることもあるが、それでもそこそこ高い割合で素数が発生する。その理由は証明されているということであった。 動画では、次に、Ｘを「2Ｘ」に置き換えた、 4Ｘ2−2Ｘ＋41 によって作られる素数が、上掲のらせん配置の図に現れる斜めの直線に対応していると説明された。 さらに、らせん配置の中心を41からスタートさせると、オイラーの素数生成多項式で作られる素数が右肩上がりの直線上に並ぶようになる。 動画ではまた、正三角形や正六角形のマス目の中心かららせん状に並べた場合、あるいは三角形のマス目に（らせんではなく上から順に）自然数を並べた場合にも直線状の分布が出現することが紹介された。 さらに興味深いのは『サックスの螺旋』、そして「約数の個数に応じて色の濃淡を変えた場合に出現する模様」が紹介された。 ここからは私の感想・考察になるが、自然数を螺旋などに配置した時に模様が生じるというのは、素数の分布の規則性というよりは合成数の分布の規則性を反映したものではないかという気がする。例えば10列の長方形のマス目に左上から順に自然数を並べていったとする。エラトステネスのふるいをかければ、まずは偶数部分の縞模様が現れる。らせん状の場合も、合成数の配列は規則的になるので、それらを白く塗った残り、つまり素数の配列は結果的に模様を作るようになるのではないだろうか。オイラーの素数生成多項式の場合も結果的に螺旋が外側に形作られていく時の数の増え方に対応している。 次回に続く。 |