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半田山植物園のレンギョウ（写真上）とシナレンギョウ（写真下）の花の比較。こちらに見分け方が紹介されていたが、なかなか難しい。花びらはシナレンギョウのほうが細いようにも見える。
どちらも雌雄異株だというが、中心部には雄しべと雌しべの両方があるようにも見える（特にシナレンギョウ） |
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Copyright(C)長谷川芳典 |
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半田山植物園のレンギョウ（写真上）とシナレンギョウ（写真下）の花の比較。こちらに見分け方が紹介されていたが、なかなか難しい。花びらはシナレンギョウのほうが細いようにも見える。
どちらも雌雄異株だというが、中心部には雄しべと雌しべの両方があるようにも見える（特にシナレンギョウ） |
【連載】隠居人が楽しめる素数の話題(2)オイラーの幸運数 昨日に続いて素数の話題。10日ほど前に配信された、 ●かーるのゆっくり数学 近年解明された素数の法則 6選【総集編】 を中心にメモと感想を記す。 さて、昨日取り上げた『素数生成多項式』だが、上掲の動画では、 Ｘ2−Ｘ＋41 として紹介されていたが、こちらでは、以下のような、より一般化された式になっていた。 Ｘ2＋Ｘ＋ｑ この新しい式のｑが、2、3、5、11、17、41 のとき、，連続する ｑ−1 個の整数 n=0,1,2,...,q−2 に対して，fq(n) はすべて素数となる。これらの数は『オイラーの幸運数』と呼ばれているという【そう言えば、2022年7月7日の日記でも『幸運数』について取り上げていた。 もっともここまで調べたところで混乱が生じてしまった。
このうち1.についてはウィキペディアの別の項目に、 n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式（英語版）と記されていた。実際にｎに1から順に数を入れていくと、n2− n + 41の値は、 41、43、47、53、61、83、97、113、．．． となる。いっぽう、n2＋ n + 41の値は、 43、47、53、61、83、97、113、．．． というように同じ値をとることが分かる。何のことはない。ｎにｐという数を入れた時は、 n2＋ n + 41の値はｐ2＋ｐ + 41であり、 ｎにｐ＋1を入れた時の、 n2− n + 41の値は （ｐ＋1）2−（ｐ＋1） + 41 ＝ｐ2＋2ｐ＋1−ｐ−1＋41 ＝ｐ2＋ｐ＋41 となり、生成される数は同じになることがあっさり証明できた。なので、「−Ｘ」か「＋Ｘ」かはどちらでもよいということになりそうだ。 もう1つの『幸運数』だが、Bingに尋ねたところ、『幸運数』と『オイラーの幸運数』は別物であることが確認できた【数式の一部は表示困難】。 はい、『幸運数』と『オイラーの幸運数』は異なる概念です。幸運数は、ある種のふるいによって生成される自然数のシーケンスであり、数学的な実験や確率論的な性質に基づいています。一方で、オイラーの幸運数は、特定の二次多項式によって生成される素数のシーケンスであり、レオンハルト・オイラーが発見したものです。この多項式は、連続する整数値に対して素数を生成することで知られており、特定の条件下で素数を生成する能力があることが示されています123??。 なお、（オイラーの）幸運数が上掲の6個しか無いことは1967年にスターク（Stark, H. M.）によって証明されているという。幸運数や『類数』については最初に挙げたこちらのサイトで解説されているのだが、残念ながら私には理解できるだけの力が無い。 次回に続く。 |