【連載】笑わない数学(2)虚数(2)ゼロとはどういう意味か？
昨日に続いて、NHK『笑わない数学で2022年8月17日に初回放送された、
●虚数
のメモと感想。
放送では、自然数→有理数→無理数という数の拡張の続きとして、人類が受け入れるのに苦労した数として「ゼロ」と「マイナス」の概念が取り上げられた。
このうち「ゼロ」については、まず記数法（命数法）において、例えば「百二」を「102」と表す時に当初は「0」ではなく、数字ではない「●」という記号が使われていたこと、さらに商取引が盛んだった7世紀頃のインドで縦計算をする際に「●」が他の数字と同じように使われていたことなどが紹介された。
「ゼロ」の概念についてはウィキペディアでもいろいろな観点から解説されているが、私がいちばん重要だと考えるのは、いかなるa、bに対しても
という性質をもつ「●」という概念を導入した点である。ちなみに、こちらの情報【出典は吉田洋一『零の発見』,1939】によれば、
「零の発見」はインドのグプタ朝時代（４〜５世紀）においてであった。６世紀頃に位取り記数法が行われるようになり、７世紀初めごろのインドの数学者ブラーマグプタの書物には、「いかなる数に零を乗じても結果は常に零であること」、また、「いかなる数に零を加減してもその数の値に変化がおこらないこと」という零の性質が記載されているという。
と解説されており、記数法における「ゼロ」と、ゼロの性質についての発見は数百年程度のズレがあるようだ。
ゼロの概念を導入しても四則演算の法則に矛盾を生じることは無いが、1つだけ「ゼロで割ってはいけない」という例外事項を付け加えることが必要となった。ここで1つ、虚数が発見（考案）されたのと同様、ゼロのわり算についても、
任意の数a（但しa≠0）に対して、j＝a/0
というように、aをゼロで割った値jを新しい数として定義することはできないのか？という疑問が生じる。このようにjを定義すること自体は間違いではないとは思うが、それを認めてしまうと、とんでもない混乱が生じてしまう。ウィキペディアをヒントにその一例を挙げてみると、
- まずa÷0=jというように定義する。
- 0 × 1 = 0 0 × 2 = 0 であるから、
0 × 1 = 0 × 2
- 両辺を0で割ると、
1 = 2
となってなっなんと1＝2が証明されてしまう。これは1や2以外のあらゆる数でも成り立つので、けっきょく「すべての数は等しい」という、数学的には全く意味の無い構造になってしまう。
なお上述では「0/0＝1」を前提にしているが、1つ前に述べた「a/0＝j」という新しい数を導入した場合は、上の式は、
- 0 × 1 = 0 × 2
- 両辺を0で割ると、
0 × 1/0 = 0 × 2/0
- よって0j＝0j
となって、必ずしも矛盾は生じない。とはいえ、虚数iを導入したで実現したような画期的な拡張は期待できそうにもない。
このほか、a/0＝jというjを勝手に作ってしまうと、無限大の概念に抵触する矛盾が生じるように思われる。
次回に続く。
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