英称 complex plane の訳として複素数平面と呼ぶことも少なくなく、大学以上の数学書では『複素平面』または『ガウス平面』の方が〔複素数平面よりも〕圧倒的に主流であるとの見解がある。しかし、接頭辞「複素-」を「係数体を複素数体とする」という意味に解釈すると、複素数を成分とする「平面」という意味になり、C2（実部と虚部に分けると実4次元線形空間）（二次元複素解析空間）を指すので、文脈によってどちらを指しているかは注意が必要である。日本の高等学校の学習指導要領では現在は「複素数平面」が用いられている。

複素数平面は、複素数を座標平面上の点に対応させることで、幾何的な意味を持たせることができます。以下に、複素数平面のメリットをいくつか挙げます:

1. 1. **回転移動に強い**: 複素数平面では、90°の回転移動が単純な計算で表現できます。
2. 2. **煩雑な計算が簡単**: 複素数平面では、実数の範囲では煩雑な回転の計算が楽になります。
3. 3. **留数定理**: 複素関数論の留数定理によって、実数関数の定積分を簡単に求めることができます。

これらの特徴により、複素数平面は幾何的な意味付けをする際に有用です。
(1) 複素数の図形的意味、座標平面上の点の90°回転移動 - 受験の月. https://examist.jp/mathematics/complex-plane/zukeitekiimi/.
(2) 【高校数学�V】複素数による図形の性質の証明 | 受験の月. https://examist.jp/mathematics/complex-plane/fukusosuu-zukeisyoumei/.
(3) 「複素数平面」の学習における「平面上の変換」の 概念化に .... https://www.jstage.jst.go.jp/article/jasme/24/1/24_37/_pdf/-char/ja.
(4) 複素数の存在意義と様々な例 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/778.
(5) 複素数の存在意義と様々な例 | 高校数学の美しい物語. https://bing.com/search?q=%e8%a4%87%e7%b4%a0%e6%95%b0%e5%b9%b3%e9%9d%a2%e3%81%ae%e3%83%a1%e3%83%aa%e3%83%83%e3%83%88.
(6) 虚数 (複素数)は何の役に立つ？目的は？実社会や日常生活 .... https://www.koregasiritai.com/imaginary-numbers/.
(7) 高校数学�V→C 複素数平面 - 受験の月. https://examist.jp/category/mathematics/complex-plane/.
(8) 複素数平面における回転と極形式 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/875.
(9) 複素数平面の公式まとめ（極形式・回転・ドモアブルの定理 .... https://rikeilabo.com/complex-plane.

複素数平面での幾何的表示は、複素数の性質や演算を直感的に理解する上で非常に便利です。以下に、複素数平面を使用する際のメリットをいくつか挙げてみましょう：

1. 複素数の加法と減法がベクトルの加法と減法に対応する：
   複素数a + biは、x軸方向にaだけ移動し、y軸方向にbだけ移動するベクトルと対応します。
2. 複素数の乗法がスケーリングと回転に対応する：
   複素数z = a + biは、原点からの距離|z|と、x軸からの角度θで表現できます。このとき、z1 * z2 = |z1| * |z2| という性質があります。
3. 指数関数や三角関数の表現が簡単：
   オイラーの公式 e^2iθ=cos(θ)+isin(θ)eiθ=cos(θ)+isin(θ) を使うと、三角関数や指数関数を複素数として表現できます。
4. 複素数の割り算が割合と角度の分配に対応する：
   複素数z1/z2は、|z1|/|z2|と、z1とz2の偏角の差で表現できます。
5. 複素数の収束や発散が幾何的に理解しやすい：
   複素数の列が収束するかどうかや、どのように収束するかを複素数平面上で視覚的に把握できます。
6. 微分や積分が幾何学的に表現できる：
   複素関数の微分や積分は、複素平面上での曲線の動きとして直感的に理解できます。
7. 留数定理などの複素解析の理論が直感的に理解しやすい：
   複素数平面上での留数や周回積分の概念が、異常点や閉曲線として幾何学的に表現されます。
8. 特異点や極限の挙動を視覚的に把握できる：
   複素数平面上での特異点の位置や周囲の挙動が、グラフとして表現されます。

総じて、複素数平面は複素数理論を視覚的に理解するのに非常に役立ちます。具体的な問題や理論を考える際に、複素数平面を使うことで直感的な洞察が得られる場合が多いです。

ベクトルと複素数平面には密接な関係があります。実際、複素数は2次元ベクトル空間を形成します。

1. 複素数の幾何的表現:
   複素数 z=a+biz=a+bi は、2つの実数 aa と bb によって定義されます。これを 2 次元実数ベクトルとして考えることができます：(a,b)(a,b)。
2. 複素数の加法:
   2つの複素数 z1=a1+b1iz1?=a1?+b1?i と z2=a2+b2iz2?=a2?+b2?i の和は、それぞれの実部と虚部を加算することで得られます。この操作はベクトルの加法と同様です。
3. z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)iz1?+z2?=(a1?+a2?)+(b1?+b2?)i
4. 複素数の乗法:
   2 つの複素数 z1=a1+b1iz1?=a1?+b1?i と z2=a2+b2iz2?=a2?+b2?i の積は、通常の実数の積と同様に計算できます。これにより、2 つのベクトルのスカラー倍と角度の変化が関連付けられます。
   z1?z2=(a1a2?b1b2)+(a1b2+a2b1)iz1??z2?=(a1?a2??b1?b2?)+(a1?b2?+a2?b1?)i
5. 複素共役:
   複素数 z=a+biz=a+bi の共役は、虚部の符号を反転させたものです。つまり、zz の共役は a?bia?bi です。
6. 絶対値:
   複素数 z=a+biz=a+bi の絶対値は、原点から zz までの距離であり、通常のユークリッド距離と同じです。この場合、絶対値は √（a²+b²） となります。
7. 極座標表示:
   複素数を極座標形式 re^iθで表現することができます。ここで、r は絶対値、θ は偏角を表します。これは原点からの距離と角度を示すベクトルの表現です。
8. 複素平面上での操作:
   複素平面上での加算や乗算は、ベクトルの和やスカラー倍に対応します。

複素数は、2次元のベクトル空間を用いて表現され、ベクトル演算との関連が強いです。この関係を理解することで、複素数の幾何学的性質や演算を直感的に把握することができます。