【連載】笑わない数学(2)虚数(12)虚数以外の新しい数(3)2乗して初めて+1になる数（分解型複素数）と『代数学の基本定理』
9月25日の続き。
昨日の日記の終わりのところで、『分解型複素数』：
●その数自体は1ではないのに、2乗すると初めて1になる数。但し実数ではない。
に言及した。しかしこの概念は、複素数や二重数に比べるとイマイチ納得できないところがある。そもそも「2乗してマイナス1になる数」として虚数iが登場した背景には、
- n次方程式の解の公式に係数を入れるとマイナスの数のルートが出現することがある。
- n次方程式はn個の解を持つ【代数学の基本定理】
があったはずだ。このうち2.は、重解は2個として数えたとしても実数の範囲では「解無し」の場合があり、n個に満たないことがある。しかし、複素数まで拡張すればぴったりn個の解を持つことになり「美しい数学」になる。
ちなみに、こちらによれば、この基本定理は、広義には、
●体 F 上の n 次方程式は， F 上に高々 n 個の解を持つ。
と表現されており、以下のように帰納法で証明できる【改変あり】。
まず次数が零の方程式，つまり f=c は， x の方程式になっていないので， x=... の形の解はない。n-1 次方程式に対して仮定が正しく， 高々 n-1 個の解が存在するとしたとき n 次方程式 f(x) を考える．解が無ければ､議論はここで終わりだが，仮定には矛盾しない．また，少なくとも１つは解 a を持つとすれば， f(x)=(x-a)q(x) ( q(x) は n-1 次多項式)と書けて，仮定より q(x) は高々 n-1 個の解を持つので定理が示される。
上記では、「n次方程式はたかだかn個の解を持つ」ということは証明されているが「必ずn個の解を持つ」ことまでは証明できていないように思われるが、体が複素数体の場合に限っては n 次方程式は常に n 個の解を含むことが知られておりこれが『代数学の基本定理』となる。但しウィキペディアではもう少し広範囲な記述があり、因数定理を機能的に用いることにより導かれるという。
ということで元の話題に戻るが、2乗して＋1になる数というのは、χ2＝1 で求められる。であるならば、
χ2−1＝（χ＋1）（χ−1）＝0
と因数分解ができるので、この2次方程式の解は−1、＋1の2個となる。2次方程式の解は上記の基本定理から高々2個なのでこれで解は尽くされていることになるはずだ。にもかかわらず、
●その数自体は1ではないのに、2乗すると初めて1になる数。但し実数ではない。
というのは相当無謀なことのように思える。少なくとも、『体』には当てはまらない世界を構築しようとしているように見える。
じっさい、分解型複素数の全体は『体』ではなく『環』になるとのことである。ちなみに、群と環と体の違いは、ざっくり言えば、
●群は加法・減法について閉じている。 環は加法・減法・乗法について閉じている。 体は加法・減法・乗法・除法について閉じている。
ということになるようだ。
ネットで検索したところ、こちらに、分解型複素数の特徴についていくつかの記述があり、抜粋させていただくと、以下のようになる。
- 分解型複素数では純虚数の2乗も正の数になりますがそうなら正の数には平方根が4つ、逆に負の数には一つも平方根が存在しないことになりますか。→そうなる
- それどころか実部が正かつその絶対値が虚部のそれよりも大きい場合は平方根が4つ、そうでない場合は一つも平方根が存在しないことになる。
- 分解型複素数では実部と虚部の絶対値が等しい数でそうでない数を割ることはできず、また実部と虚部の絶対値が等しくかつ虚部の符号が異なる数同士を掛けると零になる（零因子）。
とにかく、分解型複素数の世界を作るには何らかの意義がなければならない。Bingに質問したところ、以下のような回答をいただいた【Webの制約上、うまく表示されていない箇所あり】。
分解型複素数は、数学において2つの実数χとｙとｊ = +1 を満たす実数でない量を用いてz = χ + yj と表される数です1。通常の複素数との最も大きな幾何学的な違いは、通常の複素数の乗法がR2における通常の自乗ユークリッドノルムχ2 + y2に従う一方、分解型複素数の乗法が自乗ミンコフスキーノルムχ2 - 1 に従うことです1。分解型複素数は、通常の複素数にはない非自明な（つまり、0でも1でもない）冪等元を含むという興味深い性質を持ちます1。
分解型複素数は、他の呼び名もたくさんあります1。分解型複素数は、（p, p）-型の（計量二次形式の）符号数が「分解型符号数」と呼ばれることからきています。つまり、分解型複素数は分解型符号数（1, 1）を持つ複素数の類似であると言えます1。
分解型複素数は、体にはならない代わりに環を成します1。全ての分解型複素数が成す集合は体にはならないが、その代わりに環を成します1。
分解型複素数には多くの有用性があります。例えば、制御工学では交流電力の無効電力やバネの振幅成分を複素数として扱うことがあります?。
このように、分解型複素数は興味深い性質を持ち、さまざまな応用があります。
1: [Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0)
?: [参考](https://taketake2.com/N5.html)
(1) 分解型複素数 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9E%8B%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0.
(2) 複素数の必要性 何に使う？〜制御工学の基礎あれこれ〜. https://taketake2.com/N5.html.
(3) 二元数 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%85%83%E6%95%B0.
(4) 複素数の美しい性質と効果まとめ | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/808.
(5) 分解型複素数の基礎. https://shabonlearning.com/Math/split_complex.html.
ということで、イマイチ分からないものの有用性はあるようだ。また、ウィキペディアに記されているように、二元数は本質的には、『複素数体』、『分解型複素数環』、『二重数環』の3種しか無いとのことだ。その証明はこちらに記されており、わずか10行程度のシンプルなものであった【といっても私には一部の変形しか理解できない】。
次回に続く。
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