【連載】笑わない数学(8)ケプラー予想(2)円充填
昨日に続いて、11月15日にNHK総合で初回放送された、『笑わない数学 シーズン２』：
●ケプラー予想
についてのメモと感想。
放送では続いて、立方最密充填配置の導入として、平面上に円盤を並べる『円充填』が紹介された。前回も述べたように、円を規則的に並べる方法【円の中心が六方格子になった『六方充填配置』。円の中心が直線上になるように並べ、その上下は半径の長さ分だけずらして直線上に並べる】が最も密度が高くなることがガウスによって証明されている。なおガウスの証明については、こちらのノート【期間限定】に、
ガウスは、オイラーの時代に活躍したラグランジュという数学者の研究成果と合わせてこの問題を解決したのですが、実はガウスもラグランジュも円充填問題の解決が直接の目的ではなかったようです。「数論」と呼ばれる分野におけるラグランジュの功績と、その功績をまったく別の分野で活用したガウスの成果を知った後世の数学者たちが、「あれ？２人の研究成果を使えば、規則的な円の充填問題を解決したことになるのでは！？」と気づき、結局、「事実上、ガウスが解決したと言ってよいだろう」ということになったそうです（以上の理由から、ラグランジュが解決したとする書き物もあるようです）。
という追記があり、放送でも「ガウスはラグランジュの研究と合わせて事実上、規則的配置の場合を証明したとされる」というテロップが表示されていた。
いずれにせよ、ガウスの証明は、円を規則的に並べた場合【専門的には『正規配置』】を前提としていた。
その後、ハンガリーのラスロ・フェイエシュ=トート（1915-2005）が1940年に『ある幾何学の定理について』という論文で、ランダム（非正規）な配列を含めて、六方充填配置が最も高密度であることが証明された。彼はいきなり無限平面で考えるかわりに、まずは有限の広さの領域に円を並べていくという方法を採用した。
- 面積Ｔの領域の中に同じ大きさ（半径ｒ、個数n個）のたくさんの円を並べることを考える。
- 円1個の面積はπｒ2なので、n個の円の面積の合計は、nπｒ2
- よって円の密度は、ｎπｒ2／T
彼は、隣り合う2つの円と円の真ん中に線を引き多角形を作るというアイデアを考えた。そしてどの多角形の面積の和も、同じ大きさの円に外接する正六角形の面積の和以上となるという事実をつきとめた。そうすると、
- 正六角形の面積は、2√3ｒ2なので、
2√3ｒ2×ｎ≦（ｎ個の多角形の面積の合計）
- 変形すると、
ｎｒ2≦（ｎ個の多角形の面積の合計）/2√3
- 上記を円の密度の式 ｎπｒ2/ Tに入れると、
円の密度＝（π/T）×ｎｒ2≦（π/2√3）×（ｎ個の多角形の面積の合計）／T
- 上記で「ｎ個の多角形の面積の合計はｎが無限に大きくなるとTに一致するので、
円の密度≦π／2√3 【約90.69％】
となる。上記の「≧」の右側はガウスが証明した「正規配置の場合の最大密度」に一致する。よって非正規配置を含めても、六方充填配置が最大の密度となることが証明された。
ここまでのところで私の感想・考察を述べさせていただくが、ラスロ・フェイエシュ=トートによる証明は放送で紹介できるほどの分かりやすい内容であり、この私でも理解できた。こんなに簡単な証明に誰も気づかなかったのが不思議なくらいである。もっとも、彼の証明はガウスの証明を前提としている。ガウスの方法まで理解するのはかなり難しそうだ。
あと、1つ気になるのは、
円の密度＝（π/T）×ｎｒ2≦（π/2√3）×（ｎ個の多角形の面積の合計）／T
上記で「ｎ個の多角形の面積の合計はｎが無限に大きくなるとTに一致するので、
円の密度≦π／2√3 【約90.69％】
という部分の下線部のところだ。平面充填の問題自体は無限に広がる平面を前提としているのでそれでよいのだが、例えばｎが1000個の時はTには一致しない。もっとも、「（ｎ個の多角形の面積の合計）／T」の値はｎが小さいほど小さくなるはずなので、ｎが無限でないからといって非正規配置のほうが密度が高くなるということはあり得ないように思われる。
このほか、
- （15タイプ以外の）正五角形とか、正七角形以上の多角形において密度を最大にするための配置法
- 異なる大きさの2種類以上の円（例えば、ｎ個ずつの半径が1と1/2の円）で密度を最大にするための配置法
- 楕円、☆型、ハート型など特定の形の図形において密度を最大にするための配置法
といった拡張ができるように思う。これらは効率的な収容法を考えるなど、実用的な価値がある。もっとも上記2.については、もしかすると、「半径1だけの円で正規配置、別の場所に半径1/2だけの円で正規配置」のほうが2種類の円を混ぜて配置するよりも密度を大きくできるかもしれない。
次回に続く。
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