どのような負でない2つの整数ｍとｎを用いても
χ＝3ｍ＋5ｎ
とは表すことができない正の整数χをすべて求めよ。

• まず、与えられた金額をすべて7円玉だけで支払うことを考える。金額が7の倍数であれば支払い完了。
• 7円玉だけでピッタリ支払えない場合は、当該の金額にできるだけ近い金額分を7円玉で支払うこととする。その場合の不足分は、1円〜6円までの6通り。つまり7円玉だけでは1円〜6円不足する可能性がある。
• そこで、9円玉を7円玉に取り替える。こうすると、
  • 不足金額が2円、4円、6円の時は、7円玉から9円玉への取り替えを1回から3回行うことで不足をゼロにすることができる。
  • 不足金額が1円の時は、7円玉5枚を9円玉4枚に取り替える。
  • 不足金額が3円の時は、7円玉6枚を9円玉5枚に取り替える。
  • 不足金額が5円の時は、7円玉7枚を9円玉6枚に取り替える。
  という方法により、不足分を解消することができる。但し「取り替える」という操作を行うためには一定金額以上でなければならない。上記では、「不足金額が6円の時は、7円玉3枚を9円玉3枚に取り替える。」が一番大きな金額になり、この場合、そもそも6円の不足となった金額が7円玉6枚であることから、取り替え後の枚数の内訳は7円玉3枚と、9円玉3枚で合計48円。
  　なお、48円より大きな金額の支払いでも不足分は1円〜6円のいずれかとなるので（不足が7円以上となった時は7円玉を1枚追加すればよい）、すべて支払い可能、すなわち、すべて 7x+9y で表せる。
  
  　上記の解法は小学校高学年でも理解できる方法だが、一般化ができない。入試問題の解法としては、満点にはなっても、エレガントな解法に与えられるかもしれないボーナス点は貰えそうにない。やはり、modを使ったやり方が優れているようである。
  
  　modを使った解法のなかで面白いのは、例えばトランプのカード「1」から「10」をどのように並び替えても、10通りの数が1枚ずつであることに変わりが無いという点である。
  
  　なお、今回取り上げられた問題（一般化）では、「a、bを互いに素な自然数、x、yは0以上の整数とするとき、ax+byで表せない最大の整数は ab-a-b であることを示せ。」というように「x、yは0以上の整数」という条件がついていたが、さらに一般化すると。
  
  ●a、bは互いに素、ｘ、yを整数とすると、すべての整数は、ax+byで表わすことができる。
  
  ということになるようだ。またこの場合、ｘ、yが負になるというケースは、硬貨の例ではおつりを払うという意味になる。
  
  　このことから、ゴールドバッハの予想が解けるのではないかと一瞬思ったが、
  • 上記の場合は、aとbを固定した上で、適当なx、yを選べばどんな整数もax+byで表わすことができるという意味。
  • ゴールドバッハの予想は、任意に選んだ2より大きい偶数は2つの素数の和として表すことができるという意味であり、上記で言えばx=1、y=1というようにx、yが固定されており、かつ、aとbは互いに素であるだけでなく素数という条件がついているので、問題の性質は異なるようだ。
  それと、元の問題で「ax+byで表わすことができる」というのは「一意的に表せる」ということではない。例えば、a、bの最小公倍数に相当する数の部分は、（硬貨の例で言えば）どちらの硬貨でも支払い可能となる。もしかして一意的に表せることがゴールドバッハの予想に関係してくるのかと思ったが、
  
  54=7+47=11+43=13+41=17+37=23+31
  
  というように「54」という数は5通りもの素数の和で表すことができるから、一意性自体はあまり関係無さそうだ。
  
  　不定期ながら次回に続く。