じぶん更新日記・隠居の日々
1997年5月6日開設
Copyright(C)長谷川芳典



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　4月7日（日）は、午前中に岡大構内、午後に半田山植物園、さらに暗くなってから夜間開園最終日となった半田山植物園をもう一度訪れたため、1日の合計歩数が14237歩となり今年最多を記録した。現役時代はもともと1日平均12000歩を目標としていたので14000歩を超えることはそれほど珍しくなかったが、定年退職後は1日7000歩に設定を下げたこともあり、特別な事情が無い限りは14000歩になることはあり得なかった。
　なお、上述の14237歩は長年使用している歩数計（タニタ）による計測値であるが、同じ日のスマホによる計測は14420歩で、若干多めになっていた。とはいえ、計測法が全く異なっていることを考えれば、どちらもほそ正確に歩数をカウントしていると言ってよいだろう。



2024年4月8日（月）




【連載】隠居人が楽しめる素数の話題(4)素数の「一般項」(1)Willansの式

　昨日に続いて素数の話題。10日ほど前に配信された、

●かーるのゆっくり数学　近年解明された素数の法則 6選【総集編】

を中心にメモと感想を記す。

　総集編第三話では素数の規則性が取り上げられていた。まず、数列の規則性とは何かについて簡単に説明があり、その1つとして、X番目の数がｆ(X)という一般項で表されることが規則性を示していると解説された。例えば偶数だけの数列では 2X が一般項、ベキ数の数列では X2 が一般項となる。これですべてというわけではないが、とりあえず「数列に規則性がある」ことと「一般項が存在する｣ことは同じ意味であるとして解説が進められた。

　なお、この第三話は、1年ほど前に、単独で配信された時にも視聴したことがあり、2023年2月1日では
YouTubeの雑学系動画で素数の一般項（nを入れるとn番目の素数が計算されるという式）が存在することを初めて知った。もっとも式をよく見ると、｢nを入れて約数があるかどうかを調べ、約数があった時は、次に大きい数を検討する」といった素数判定の手順を含んだ式であって、驚くにはあたらないという気もする。
というように感想を述べたことがあった。

　動画では、「一般項」の式の問題点として、
  1. たしかにｎを入れればｎ番目の素数が計算できるが、それを求めるのに時間がかかりすぎる。コンピュータでも時間がかかる。
  2. 機械的に素数を求めているだけ。この「一般項」は素数の法則を表しているというよりも、ただ無理やり素数を作り出しているだけ。例えば、素数の定義である「自分自身と1でしか割り切れない自然数のこと」は「素数の法則」とは言えない。この「一般項」も結構当たり前の式になっている。
という2点が指摘されていた。

　ここでいったん脇道に逸れるが、この「一般項」に関しては他にもいくつかの解説動画あり、ざっと検索したところでは、

●【数学】n番目の素数を生成する式とは【ずんだもん解説】

の中で、この「一般項」を構成するパーツについて分かりやすく解説されていることが分かった。すなわち、
  1. ウィルソンの定理の応用。つまり、一般項のなかに、素数判定をする式が使われている。
  2. 「cos2」の中に入る式をg(k)πとすると、ウイルソンの定理からkが1または素数の時は1、kが合成数の時は1未満となる。その全体にガウス記号がつけられているため、kが素数の時は1、合成数は0というように振り分けることができる。
  3. 一般項の中には、素数kに達するまでの素数の個数をカウントする式が含まれている。
  4. ベルトラン・チェビシェフの定理でカウントの上限を設定。
というように、この「一般項」は、ｎが1の時から順番に素数かどうかを判定し、かつ見つかった素数の個数をカウントする機能を持ったプログラムのようなものであった。

　なお、ウィキペディアによれば、この「一般項」は1964年に Willans C.P. が報告したウィルソンの定理に基づく公式でありこちらが出典となっている。タイトルは「On Formulae for the nth Prime Number（ｎ番目の素数を求める公式について）」となっていて、これ自体にはウソ偽りは全く無い。

　次回に続く。