じぶん更新日記

1997年5月6日開設
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　ピーチユニオン（南福祉施設）から眺める大学会館北側の広場。ブーバ/キキ効果の「ブーバー」の図柄にそっくり。

2016年03月01日（火）


【思ったこと】
160301（火）個別学力試験前期(2)東大の数学

　昨日の続き。

　東大の数学の問題では、東大文科数学の第４問が目にとまった。
(1)ｎを正の整数とし，３ｎを10で割った余りをanとする。anを求めよ。
(2)ｎを正の整数とし，３ｎを4で割った余りをanとする。anを求めよ。
(3)略
　上記の(1)と(2)の問題は、要するに、3をｎ回かけた時、10進法と4進法で、1の位の数字は何になるか？というのと同じ問題となる。

　これについては、高校生の頃、「n進法で整数のm乗を表記した時、ある(n,m)の組合せで一桁目にもとの整数が現れる必要十分条件は何か。またそのさい、mをnの関数で表せ。」というように一般化した問題を考えたことがあった。【1998年5月30日と5月31日の日記ご参照。】



　もう１つ、東大理科系数学第２問（文科系と共通）には、巴戦の確率に関する問題が出た。巴戦（ともえせん）は「大相撲における優勝決定戦の方式の一種で、本割の結果、相星の力士が3人いる場合の優勝者決定のしくみ」として知られている。また、力士３人が同じ実力であった場合に優勝できる確率は1/3ではなく、「１回目に土俵に上がる２人は5/14、２回目に初めて土俵に上がる力士は4/14」であることが知られている。

　でもって、その問題は、
A,B,Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い,
2連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する。
(a) 1試合目でAとBが対戦する。
(b) 2試合目で,1試合目の勝者と,1試合目で待機していたCが対戦する。
(c)k試合目で優勝チームが決まらない場合は,k試合目の勝者と,k試合目で待機し
ていたチームがk+1試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。
なお,すべての対戦において，それぞれのチームか勝つ碓率は1/2, 引さ分けはないものとする。
となっていたが、これって、あまりにも現実離れした設定ではないかなあ。

　巴戦というのは誰か（どのチームか）が2連勝するまで対戦が続けられるので、確率的には対戦回数が何十回、何百回になることもありうる。そのリスクがあっても巴戦が大相撲で採用されているのは、大相撲では通常数十秒、長くても数分で勝敗が決せられるからである。（じっさいには1990年3月場所で4番を要したのが最多であるらしい）。

　しかし、上掲の東大の数学問題は、相撲ではなく野球の試合となっている。こちらの情報によれば、2015年のプロ野球の平均試合時間は9回試合のみで3時間13分、延長試合を含めると3時間19分であるという。であるとすると、同じ日に2試合が限度であり、優勝決着には何日も要する可能性がある。かつ、1日に2試合以上行う場合、もう1チームが3時間にわたって「待機」するというのは現実的とは言えない。

　さらに言えば、野球では投手の力がかなりのウェイトを占めているので、同じ投手が1日に2試合続けて登板することは困難であるし、当然、「それぞれのチームが勝つ確率が1/2」に固定されるというのも現実的とは言えない。

　ということで、この問題の真の正解は、「野球の試合は長時間を要するため、巴戦で優勝チームを決めるのは非現実的であり、正解を出すことはできない。」ではないかと思うのだが、このように解答したら何点もらえるだろうか？